Mathe lernen.
Was ich bis jetzt gelernt habe:
Ich schreibe dies hier auswendig auf, als Kontrolle für mich. Vielleicht lernt ihr auch noch was :>
Die Zahl...
... existiert nicht in der objektiven Realität, nur in unserem Bewusstsein.
... ist ein Abstraktum einer Anzahl.
... wird durch Ziffern oder Zahlworte dargstellt.
Die Ziffer...
... ist der Repräsentant der Zahl.
Eine natürliche Zahl...
... ist eine endliche Kardinalzahl.
Eine endliche Kardinalzahl...
... ist eine Klasse aller derjenigen Mengen, die zu einer gegebenen Menge gleichmächtig ist.
------
Es existieren verschiedene Aspekte des Zahlbegriffs:
1. Kardinalzahlaspekt
... entsteht aus der Abstraktion einer Menge.
... Zahlen als Beschreibung von Anzahlen.
... beschreibt das "Wie viel?"
... z.B. Karen hat 2 Pferde.
2. Ordinalzahlaspekt
a. Ordnungszahl (o.a. Platznummer)
... Zahlen als Ordnungstyp wohlgeordneter Mengen.
... beschreibt das "An welcher Stelle?"
... z.B. Karl fährt im 5. Gang.
b. Zählzahlen
... Zahlen bezeichnen Reihenfolgen - die natürlichen Zahlen werden direkt benutzt, genauso wie im Zahlprozess durchlaufen.
... z.B. Das Haus hat die Nummer 4.
3. Maßzahl- bzw. Skalenaspekt
... Zahlen beschreiben Größen.
... beschreibt das "Wie lang oder schwer?"
... z.B. Das Lineal ist 7cm lang.
4. Operatoraspekt
... Zahlen beschreiben "das Tun" mit dem Objekt.
... beschreiben das "Wie oft?"
... z.B. Maren geht drei Mal in den Keller.
5. Rechenzahlaspekt
a. Algebraischer Aspekt
... Zahlen drücken algebraische Gesetzmäßigkeiten aus.
... z.B. 2+3=3+2
b. Algorithmischer Aspekt
... mit Zahlen kann man nach Handlungsanweisungen rechnen.
... z.B. 123+321=444
6. Codierungsaspekt
... hat keine Zahleneigenschaften.
... z.B. Telefonnummer
------
Der Aufbau der Menge der natürlichen Zahlen
a. genetisch-mengentechnischer Aufbau
... man geht aus von Repräsentanten, die als Elemente eines Grundbereichs zur Verfügung stehen.
... man vereinbart, dass man aus dieser Menge Elemente entnimmt und der so entstandenen Menge M ein mathematisches Zeichen (ziffer) zuordnet.
... dieser endlichen Menge wird ein weiteres Element aus dem Grundbereich hinzugefügt.
... damit entsteht eine weitere endliche Menge, die der Nachfolger der Vorhergehenden genannt wird.
b. Axiomiotisch-deduktiver Aufbau mathematischer Gesetze
1. Grundbegriffe werden vorgegeben: Punkt, Gerade, Ebene, Zahl
2. Aussagen werden getroffen, die als wahr festgelegt sind (unter Verwendung von Grundbegriffen): Axiome
3. Definitionen und Sätze werden unter Anwendung der Schlussregeln hergeleitet bzw. bewiesen
--> Beschreibung des Begriffs "natürliche Zahl" unter Anwendung des Peanoschen Axiomensystems:
1. Null ist eine natürliche Zahl.
2. Jede natürliche Zahl n hat genau einen Nachfolger n'.
3. Null ist nicht Nachfolger einer natürlichen Zahl (da 0 die erste Zahl ist).
4. Jede natürliche Zahl ist unmittelbarer Nachfolger höchstens einer natürlichen Zahl.
5. Wenn die natürliche Zahl 0 Element aus M ist und wenn mit jeder natürlichen Zahl n auch deren unmittelbarer Nachfolger n' Element aus M ist, dann umfasst die Menge M alle natürlichen Zahlen.
----------
Neuer Stand, Ergänzung des Erlernten:
Damit ichs nich gleich wieder vergesse XD Leider muss ich hier auf das Venn-Diagramm verzichten, daher nur die Erklärungen XD
Konstruktion des Bereiches der reelen Zahlen aus den natürlichen Zahlen
Über die Gleichmächtigkeit endlicher Mengen erhält man die Menge der natürlichen Zahlen N.
Über die Quotientengleichheit geordneter Paare aus der Menge der natürlichen Zahlen erhält man die Menge der gebrochenen Zahlen Q+. Zwei geordnete Paare (a1;b1) (a2;b2) sind quotientengleich (=q) gdw. a1xb2=a2xb1 gilt.
Über die Differenzengleichheit geordneter Paare aus der Menge der natürlichen Zahlen erhält man die Menge der ganzen Zahlen Z. Zwei geordnete Paare (a1;b1) (a2;b2) sind differenzengleich (=d) gdw. a1+b2=a2+b1 gilt.
Über die Differenzengleichheit geordneter Paare aus der Menge der gebrochenen Zahlen und über die Quotientengleichheit geordneter Paare aus der Menge der ganzen Zahlen erhält man die Menge der rationalen Zahlen Q.
Über äquivalente Intervallschachtelungen rationaler Zahlen ethält man die Menge der reelen Zahlen R.
Darstellung von Zahlen auf der Zahlengerade
Nyu.. das kann ich leider hier nich darstellen, weil des mit zeichnen zu tun hat. Aber ich habs gelernt XD
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Zahldarstellungssysteme
1. Additionssysteme
Aus dem Bestreben nach Übersichtlichkeit entwickelte man Zahlzeichensysteme, die sich bestimmter Bündelungen bedienten. Diese "Bündel" werden addiert.
In Additionssystemen hat jedes zeichen einen Ziffernwert. Die Summe der Ziffernwerte ergibt die Zahl.
--> bestes Beispiel: römische Ziffern
I=1, X=10, C=100, M=1000, V=5, L=50, D=500
2. Positionssysteme
In einem Positionssystem hat jede Grundziffer einen Stellenwert und einen Ziffernwert. Durch Multiplikation des Stellenwerts mit dem Ziffernwert und anschließender Addition erhält man die Zahl.
Es existieren verschiedene Positionssysteme (Dekadisches PS, Dyadisches PS, Ternärsystem, Fünfersystem, Oktalsystem und Duodezimalsystem). Es ist möglich ein System in ein anderes zu konvertieren.
--> Beispiel dafür (nur für euch.. normalerweise würde ich hier jetzt voll die Rechnungen präsentieren, aber das bringt am PC nix)
[167]10 = [ ]12
(man muss also das dekadische PS in ein Duodezimalsystem konvertieren)
167 = 1 x 12² + 23 -> 23 = 1 x 12¹ + 11 -> 11 = B (steht für die Zahl 11) x 12º --> Ergebnis: [167]10 = [11B]12
egal XD hauptsache ich verstehs XDD
---------
Operationen in N (Bereich der natürlichen Zahlen)
1. Addition in N
Diejenige eindeutige Abbildung von NxN in N, die jedem geordneten Paar natürlicher Zahlen seine Summe zuordnet, heißt Addition in N.
Eigenschaften:
a). Ausführbarkeit
--> wenn beide Summanden gegeben sind, so ist die Summe eindeutig bestimmbar (3+3=__)
--> wenn die Summe und ein Summand gegeben sind, so ist der zweite Summand eindeutig bestimmbar (wenn dieser existiert) (__+3=6)
--> wenn nur die Summe gegeben ist, so sind die beiden Summanden nicht eindeutig bestimmbar (6=__+__)
b). Addition ist kommutativ
a,b € N --> a+b=b+a (2+3=3+2)
c). Addition ist assoziativ
a,b,c € N --> a+b+c = (a+b)+c oder a+(b+c)
d). Monotonie der Addition bzgl. Kleinheitsrelation
a,b,c € N --> a < b ... a+c < b+c
e). Monotonie der Addition bzgl. Gleichheitsrelation
a,c,c € N --> a = b ... a+c = b+c
2. Subtraktion in N
Diejenige eindeutige Abbildung von NxN in N, die jedem geordnetem Paar natürlicher Zahlen, deren Differenz existiert, diese Differenz zuordnet, nennt man Subtraktion in N.
Eigenschaften:
a). Subtraktion ist nicht immer ausführbar (5-7=n.l.)
b). "0" hat eine Besonderheit (a-a=0, also 5-5=0)
c). Subtraktion mit "0" hat ebenso Besonderheit (a-0=a, also 5-0=5)
d). Subtraktion ist nicht kommutativ (5-2 ≠ 2-5)
e). Subtraktion ist nicht assoziativ (8-2-3=3, 8-3-2=3, 2-3-8≠3 n.l.)
f). Distributivität der Multiplikation bzgl. der Subtraktion
a,b,c € N (b≥c)
--> linksseitig: a x (b-c) = ab - ac
--> rechtsseitig: (a-b) x c = ac - bc
g). Monotonie der Subtraktion bzgl. der Klein- und Gleichheitsrelation
a,b,c € N
--> a < b ... a-c < b-c
--> a = b ... a-c = b-c
3. Multiplikation in N
Diejenige eindeutige Abbildung von NxN in N, die jedem geordnetem Paar natürlicher Zahlen sein Produkt zuordnet, heißt Multiplikation in N.
Eigenschaften:
a). Zahl "1" ist das neutrale Element (a x 1 = a, 1 x a =a)
b). Zahl "0" ist das absorbierende Element (a x 0 = 0)
c). Multiplikation ist kommutativ
a,b € N --> a x b = b x a
d). Multiplikation ist assoziativ
a,b,c € N --> a x b x c = a x (bxc) oder (axb) x c
e). Distributivität der Multiplikation bzgl. der Addition
a,b,c € N
--> linksseitig: a x (b+c)
--> rechtsseitig: (a+b) x c
f). Monotonie der Multiplikation bzgl. der Kleinheitsrelation
a,b,c € N (c≠0) --> a < b ... a x c < b x c
g). Monotonie der Multiplikation bzgl. der Gleichheitsrelation
a,b,c € N --> a=b ... a x c = b x c
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tbc. YAY! Fertig mit lernen ^______^~
Ich schreibe dies hier auswendig auf, als Kontrolle für mich. Vielleicht lernt ihr auch noch was :>
Die Zahl...
... existiert nicht in der objektiven Realität, nur in unserem Bewusstsein.
... ist ein Abstraktum einer Anzahl.
... wird durch Ziffern oder Zahlworte dargstellt.
Die Ziffer...
... ist der Repräsentant der Zahl.
Eine natürliche Zahl...
... ist eine endliche Kardinalzahl.
Eine endliche Kardinalzahl...
... ist eine Klasse aller derjenigen Mengen, die zu einer gegebenen Menge gleichmächtig ist.
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Es existieren verschiedene Aspekte des Zahlbegriffs:
1. Kardinalzahlaspekt
... entsteht aus der Abstraktion einer Menge.
... Zahlen als Beschreibung von Anzahlen.
... beschreibt das "Wie viel?"
... z.B. Karen hat 2 Pferde.
2. Ordinalzahlaspekt
a. Ordnungszahl (o.a. Platznummer)
... Zahlen als Ordnungstyp wohlgeordneter Mengen.
... beschreibt das "An welcher Stelle?"
... z.B. Karl fährt im 5. Gang.
b. Zählzahlen
... Zahlen bezeichnen Reihenfolgen - die natürlichen Zahlen werden direkt benutzt, genauso wie im Zahlprozess durchlaufen.
... z.B. Das Haus hat die Nummer 4.
3. Maßzahl- bzw. Skalenaspekt
... Zahlen beschreiben Größen.
... beschreibt das "Wie lang oder schwer?"
... z.B. Das Lineal ist 7cm lang.
4. Operatoraspekt
... Zahlen beschreiben "das Tun" mit dem Objekt.
... beschreiben das "Wie oft?"
... z.B. Maren geht drei Mal in den Keller.
5. Rechenzahlaspekt
a. Algebraischer Aspekt
... Zahlen drücken algebraische Gesetzmäßigkeiten aus.
... z.B. 2+3=3+2
b. Algorithmischer Aspekt
... mit Zahlen kann man nach Handlungsanweisungen rechnen.
... z.B. 123+321=444
6. Codierungsaspekt
... hat keine Zahleneigenschaften.
... z.B. Telefonnummer
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Der Aufbau der Menge der natürlichen Zahlen
a. genetisch-mengentechnischer Aufbau
... man geht aus von Repräsentanten, die als Elemente eines Grundbereichs zur Verfügung stehen.
... man vereinbart, dass man aus dieser Menge Elemente entnimmt und der so entstandenen Menge M ein mathematisches Zeichen (ziffer) zuordnet.
... dieser endlichen Menge wird ein weiteres Element aus dem Grundbereich hinzugefügt.
... damit entsteht eine weitere endliche Menge, die der Nachfolger der Vorhergehenden genannt wird.
b. Axiomiotisch-deduktiver Aufbau mathematischer Gesetze
1. Grundbegriffe werden vorgegeben: Punkt, Gerade, Ebene, Zahl
2. Aussagen werden getroffen, die als wahr festgelegt sind (unter Verwendung von Grundbegriffen): Axiome
3. Definitionen und Sätze werden unter Anwendung der Schlussregeln hergeleitet bzw. bewiesen
--> Beschreibung des Begriffs "natürliche Zahl" unter Anwendung des Peanoschen Axiomensystems:
1. Null ist eine natürliche Zahl.
2. Jede natürliche Zahl n hat genau einen Nachfolger n'.
3. Null ist nicht Nachfolger einer natürlichen Zahl (da 0 die erste Zahl ist).
4. Jede natürliche Zahl ist unmittelbarer Nachfolger höchstens einer natürlichen Zahl.
5. Wenn die natürliche Zahl 0 Element aus M ist und wenn mit jeder natürlichen Zahl n auch deren unmittelbarer Nachfolger n' Element aus M ist, dann umfasst die Menge M alle natürlichen Zahlen.
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Neuer Stand, Ergänzung des Erlernten:
Damit ichs nich gleich wieder vergesse XD Leider muss ich hier auf das Venn-Diagramm verzichten, daher nur die Erklärungen XD
Konstruktion des Bereiches der reelen Zahlen aus den natürlichen Zahlen
Über die Gleichmächtigkeit endlicher Mengen erhält man die Menge der natürlichen Zahlen N.
Über die Quotientengleichheit geordneter Paare aus der Menge der natürlichen Zahlen erhält man die Menge der gebrochenen Zahlen Q+. Zwei geordnete Paare (a1;b1) (a2;b2) sind quotientengleich (=q) gdw. a1xb2=a2xb1 gilt.
Über die Differenzengleichheit geordneter Paare aus der Menge der natürlichen Zahlen erhält man die Menge der ganzen Zahlen Z. Zwei geordnete Paare (a1;b1) (a2;b2) sind differenzengleich (=d) gdw. a1+b2=a2+b1 gilt.
Über die Differenzengleichheit geordneter Paare aus der Menge der gebrochenen Zahlen und über die Quotientengleichheit geordneter Paare aus der Menge der ganzen Zahlen erhält man die Menge der rationalen Zahlen Q.
Über äquivalente Intervallschachtelungen rationaler Zahlen ethält man die Menge der reelen Zahlen R.
Darstellung von Zahlen auf der Zahlengerade
Nyu.. das kann ich leider hier nich darstellen, weil des mit zeichnen zu tun hat. Aber ich habs gelernt XD
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Zahldarstellungssysteme
1. Additionssysteme
Aus dem Bestreben nach Übersichtlichkeit entwickelte man Zahlzeichensysteme, die sich bestimmter Bündelungen bedienten. Diese "Bündel" werden addiert.
In Additionssystemen hat jedes zeichen einen Ziffernwert. Die Summe der Ziffernwerte ergibt die Zahl.
--> bestes Beispiel: römische Ziffern
I=1, X=10, C=100, M=1000, V=5, L=50, D=500
2. Positionssysteme
In einem Positionssystem hat jede Grundziffer einen Stellenwert und einen Ziffernwert. Durch Multiplikation des Stellenwerts mit dem Ziffernwert und anschließender Addition erhält man die Zahl.
Es existieren verschiedene Positionssysteme (Dekadisches PS, Dyadisches PS, Ternärsystem, Fünfersystem, Oktalsystem und Duodezimalsystem). Es ist möglich ein System in ein anderes zu konvertieren.
--> Beispiel dafür (nur für euch.. normalerweise würde ich hier jetzt voll die Rechnungen präsentieren, aber das bringt am PC nix)
[167]10 = [ ]12
(man muss also das dekadische PS in ein Duodezimalsystem konvertieren)
167 = 1 x 12² + 23 -> 23 = 1 x 12¹ + 11 -> 11 = B (steht für die Zahl 11) x 12º --> Ergebnis: [167]10 = [11B]12
egal XD hauptsache ich verstehs XDD
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Operationen in N (Bereich der natürlichen Zahlen)
1. Addition in N
Diejenige eindeutige Abbildung von NxN in N, die jedem geordneten Paar natürlicher Zahlen seine Summe zuordnet, heißt Addition in N.
Eigenschaften:
a). Ausführbarkeit
--> wenn beide Summanden gegeben sind, so ist die Summe eindeutig bestimmbar (3+3=__)
--> wenn die Summe und ein Summand gegeben sind, so ist der zweite Summand eindeutig bestimmbar (wenn dieser existiert) (__+3=6)
--> wenn nur die Summe gegeben ist, so sind die beiden Summanden nicht eindeutig bestimmbar (6=__+__)
b). Addition ist kommutativ
a,b € N --> a+b=b+a (2+3=3+2)
c). Addition ist assoziativ
a,b,c € N --> a+b+c = (a+b)+c oder a+(b+c)
d). Monotonie der Addition bzgl. Kleinheitsrelation
a,b,c € N --> a < b ... a+c < b+c
e). Monotonie der Addition bzgl. Gleichheitsrelation
a,c,c € N --> a = b ... a+c = b+c
2. Subtraktion in N
Diejenige eindeutige Abbildung von NxN in N, die jedem geordnetem Paar natürlicher Zahlen, deren Differenz existiert, diese Differenz zuordnet, nennt man Subtraktion in N.
Eigenschaften:
a). Subtraktion ist nicht immer ausführbar (5-7=n.l.)
b). "0" hat eine Besonderheit (a-a=0, also 5-5=0)
c). Subtraktion mit "0" hat ebenso Besonderheit (a-0=a, also 5-0=5)
d). Subtraktion ist nicht kommutativ (5-2 ≠ 2-5)
e). Subtraktion ist nicht assoziativ (8-2-3=3, 8-3-2=3, 2-3-8≠3 n.l.)
f). Distributivität der Multiplikation bzgl. der Subtraktion
a,b,c € N (b≥c)
--> linksseitig: a x (b-c) = ab - ac
--> rechtsseitig: (a-b) x c = ac - bc
g). Monotonie der Subtraktion bzgl. der Klein- und Gleichheitsrelation
a,b,c € N
--> a < b ... a-c < b-c
--> a = b ... a-c = b-c
3. Multiplikation in N
Diejenige eindeutige Abbildung von NxN in N, die jedem geordnetem Paar natürlicher Zahlen sein Produkt zuordnet, heißt Multiplikation in N.
Eigenschaften:
a). Zahl "1" ist das neutrale Element (a x 1 = a, 1 x a =a)
b). Zahl "0" ist das absorbierende Element (a x 0 = 0)
c). Multiplikation ist kommutativ
a,b € N --> a x b = b x a
d). Multiplikation ist assoziativ
a,b,c € N --> a x b x c = a x (bxc) oder (axb) x c
e). Distributivität der Multiplikation bzgl. der Addition
a,b,c € N
--> linksseitig: a x (b+c)
--> rechtsseitig: (a+b) x c
f). Monotonie der Multiplikation bzgl. der Kleinheitsrelation
a,b,c € N (c≠0) --> a < b ... a x c < b x c
g). Monotonie der Multiplikation bzgl. der Gleichheitsrelation
a,b,c € N --> a=b ... a x c = b x c
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Odue - 2007/05/08 14:30
Wenn du das den Kindern beibringen kannst, dann sind sie schon fürs Leben bereit und haben alles was sie brauchen. Hmm, der Dreisatz und Prozentrechnung wäre noch hilfreich.
Go Odue go! *anfeuer*